O Princípio do Mínimo indica que, se existe um natural com uma determinada propriedade então existe o mais pequeno número natural com essa propriedade.
Vamos agora provar que esse número é único.
Adoptemos a notação x(p) para indicar que o natural x goza dessa propriedade.
Consideremos então que existem x(p) e y(p), ambos o mais pequeno natural gozando da propriedade p e sendo x(p) diferente de y(p).
Ora, sendo naturais e ambos o mínimo que obedece a uma certa propriedade, podemos considerar um número,m(p) gozando da mesma propriedade e maior que qualquer deles, pela grandeza que se queira.
Podemos, reduzindo m(p) chegar ao ponto de ter:
x(p) = m(p) - 1; e
y(p) = m(p) - 1 (ou seja, m(p) representa o natural imediatamente a seguir a qualquer dos dois mais pequenos números que gozam da propriedade p).
Recorrendo a alguma Álgebra, vem:
m(p) = x(p) + 1
e
m(p) = y(p) + 1
e, finalmente:
x(p) + 1 = y(p) + 1, o que equivale a x(p) = y(p), demonstrando-se que obtemos uma contradição, que x e y são iguais e que, existe apenas um natural que obedece ao Princípio do Mínimo.
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