Z

 Axiomática do Corpo Z

1 - Seja X um conjunto contido ou igual a Z, corpo dos números inteiros.

2 - O mínimo e o máximo de X, denotados por min (X) e max (X), pertencem a X e, por conseguinte, a Z.

3 - min (X) não é  sucessor de qualquer outro elemento de X, ou seja:

     Para todo o n pertencente a X existe apenas um min (X) tal que se o sucessor de n, S(n) = S[min (X)] equivale a dizer que n = min (X), ou seja, n é apenas sucessor de si próprio, ou, dito por outras palavras, min (X) é o menor elemento de X.

4- max (X) não é  antecessor de qualquer outro elemento de X, ou seja:

     Para todo o m pertencente a X existe apenas um max (X) tal que se o antecessor de m, A(m) = A[max (X)] equivale a dizer que m = max (X), ou seja, m é apenas antecessor de si próprio, ou, dito por outras palavras, max (X) é o maior elemento de X.

5 - Existe apenas um elemento de X que é min (X), ou seja:

     Para qualquer n pertencente a X \ {min (X)}, existe apenas um e um só elemento de X tal que min (X) < n.

6 - Existe apenas um elemento de X que é max (X), ou seja:

     Para qualquer m pertencente a X \ {max (X)}, existe apenas um e um só elemento de X tal que m < max (X).

7 - Se X estiver contido ou for igual a Z e X verificar as condições:

    i) min (X) pertencer a Z;

    ii) max (X) pertencer a Z;

    iii) {[se n pertencer a X implicar que S(n) pertence a X] e [se m pertencer a X implicar que o A(m) pertence a X]} equivale a dizer que X = Z (compreendido entre min (X) e max (X)).

Um

    O Princípio do Mínimo indica que, se existe um natural com uma determinada propriedade então existe o mais pequeno número natural com essa propriedade.

    Vamos agora provar que esse número é único.

    Adoptemos a notação x(p) para indicar que o natural x goza dessa propriedade.

    Consideremos então que existem x(p) e y(p), ambos o mais pequeno natural gozando da propriedade p e sendo x(p) diferente de y(p).

    Ora, sendo naturais e ambos o mínimo que obedece a uma certa propriedade, podemos considerar um número,m(p) gozando da mesma propriedade e maior que qualquer deles, pela grandeza que se queira.

    Podemos, reduzindo m(p) chegar ao ponto de ter:

                    x(p) = m(p) - 1; e

                   y(p) = m(p) - 1 (ou seja, m(p) representa o natural imediatamente a seguir a qualquer dos dois mais pequenos números que gozam da propriedade p).

                    Recorrendo a alguma Álgebra, vem:

                    m(p) = x(p) + 1

                    e

                    m(p) = y(p) + 1

                    e, finalmente:

                 x(p) + 1 = y(p) + 1, o que equivale a x(p) = y(p), demonstrando-se que obtemos uma contradição, que x e y são iguais e que, existe apenas um natural que obedece ao Princípio do Mínimo.